Решебник По Высшей Математике Кремер

Решению задач по основам высшей. Приложения высшей математики. Также: Высшая математика для экономистов. (Учебник) Под ред. (2007, 3-е изд., 479с.) ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Раздел I. Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии) 6 Глава 1. Матрицы и определители 6 1.1. Матрицы и операции над ними 6 1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица 11 1.3. Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы 19 1.4. Задачи с экономическим содержанием 23 Задача для повторения 28 Контрольные задания по главе 1 «Матрицы и определители» 30 Тест 1 32 Глава 2. Системы линейных уравнений 34 2.1. Oct 16, 2011 - Математика (линейная алгебра и математический анализ) для направления. Базовый учебник: Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. М.: Физматлит, 2000. Вузов / Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. И др.; Под ред. Высшая математика для экономистов, Практикум, Кремер Н.Ш., 2007. Решебник по высшей математике кремер Скачано Учебник.

УДК 5^075.8) ББК 22.1я73 В93 Всероссийский заочный финансово-экономическийинститут Ректор акад. Романов Председатель Научно-методическогосовета проф. Дайитбегов К о л л е к т и в а в т о р о в: проф. Кремер (предисловие, введение, гл. 2—7,9, 13, 14, 16), доц. 1) Р е ц е н з е н т ы: кафедра математики Финансовой Академии при Правительстве РФ (зав. Кафедрой д-р физ.-мат.наук, проф.

Солодовников) и д-р физ.-мат.наук, проф. Партон Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники Высшая математика для экономистов: учебник для В93 студентов вузов, обучающихся по экономическим спе­ циальностям / Н.Ш.

Кремер и др.; под ред. М.: ЮНИТИ-ДАНА,2010.

— (Серия «Золотой фонд российских учебников») I. Кремер, Наум Шевелевич. ISBN 978-5-238-00991-9Агентство CIP РГБ Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала со­ провождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы.

Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластич­ ность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.). Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, за­ нимающихся самообразованием.

ББК 22.1я73 ISBN 978-5-238-00991-9 © Коллектив авторов, 1997, 1998, 2006 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА,1997, 1998, 2006 Принадлежит исключительное право на использование и распространение изда­ ния (ФЗ № 94-ФЗот 21 июля 2005 г.). Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либоформе, в том числе в интернет-сети,запрещается без письменного разрешения издательства. ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время ощущается острая нехватка учебников и учебных пособий по математическим дисциплинам, в частности по основам выс­ шей математики. Особенно болезненно это отражается на студентах, обучающихся в вузе без отрыва от производства, для многих из которых учебник является основным источником учебной информации.

Именно этим студентам в первую очередь адресована настоящая книга. Учебник написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специа­ листов с высшим образованием по экономическим специальностям.

Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введе­ ние в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное ис­ числение и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции не­ скольких переменных». При написании курса высшей математики для экономических ву­ зов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундамен­ тальной математической подготовки студентов с усилением ее при­ кладной экономической направленности. При введении основных поня­ тий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции рассматривается после понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интеграль­ ной суммы и т.п.

Всюду, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий (например, производ­ ной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ря­ да экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей мате­ матики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эласти­ чность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подго­ товки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (эконо­ мической) информации. Известно, что новый учебный материал усваивается студентами (особенно имеющими значительный перерыв и пробелы в довузов­ ской математической подготовке) значительно легче, если он сопро­ вождается достаточно большим числом иллюстрирующих его приме­ ров. Поэтому авторами сделана попытка соединить в одной книге учебник и краткое руководство к решению задач. Такое построение книги потребовало сделать и изложение тео­ ретического материала более кратким, отказаться без существен­ ного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ра­ нее проведенных лишь техническими деталями.

Вместе с тем ав­ торы стремились к более тщательной проработке ведущих поня­ тий и доказательств положений курса. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся учебные алгоритмы (схемы) ре­ шения определенного круга задач. Задачи с решениями (в том числе с экономическим содержанием) рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала. Более сложные, комплексные, а также дополнительные задачи с реше­ ниями приводятся в большинстве глав в последнем (или предпослед­ нем) параграфе «Решение задач». А задачи для самостоятельной рабо­ ты даются в конце каждой главы в рубрике «Упражнения» (нумерация задач единая — начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике). Ответы задач приведены в конце книги.

Во в т о р о е и з д а н и е включена новая глава «Комплекс­ ные числа», что, в частности, позволило более полно изложить раздел «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения». В главу «Функции нескольких переменных» дополнительно включен пара­ граф «Условный экстремум». Изложенный в нем метод множителей Лагранжа имеет важное значение в решении оптимизационных задач. Существенно расширен учебный материал глав 5, 7, 12, 15, касающийся простейших приложений высшей математики в эконо­ мике, в частности, рассмотрены элементы предельного анализа и модели экономической динамики.

В т р е т ь е м и з д а н и и исправлены замеченные опечатки и неточности. Авторы выражают большую благодарность профессорам А.С. Солодовникову и В.З. Партону за рецензирование рукописи, а также студентке ВЗФЭИ M.J1. Лифшиц за помощь в выявлении опечаток первого издания.

В книге знаком □ обозначается начало доказательства теоремы, знаком ■ — ее окончание; знаком D — начало условия задачи, знаком ► — окончание ее решения. ВВЕДЕНИЕ Математика — наука о количественных отношениях и простран­ ственных формах действительного мира. В неразрывной связи с за­ просами науки и техники запас количественных отношений и про­ странственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расши­ ряется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле. Академик А.Н.

Колмогоров выделяет четыре периода развития математики1: зарождения математики, элементарной математики, ма­ тематики переменных величин, современной математики. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого факти­ ческого материала и возникло впервые в Древней Греции в VI—Vвв. До нашей эры.

Это было началом периода элементарной математики. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствова­ ние математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел.

Создается алгебра как буквенное исчисление. А соз­ данная древними греками система изложения элементарной геомет­ рии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Запросы естествознания и техники привели к созда­ нию методов, позволяющих математически изучать движение, про­ цессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начина­ ется период математики переменных величин. На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат. С другой стороны, открылась возможность геометриче­ ской интерпретации алгебраических и аналитических фактов. Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX. К по­ становке задачи изучения возможных типов количественных отноше­ ний и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и вследствие внутренней потребности самой математики.

Замечательным примером такой теории является «воображаемая» геометрия Н. Развитие подобного рода исследований в математике XIX—XXвв. Позволяет отнести ее к периоду современной математики.

Потребности развития самой математики, «математизация» раз­ личных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислитель­ ной техники привели к появлению ряда новых математических дис­ циплин, например исследование операций, теория игр, математиче­ ская экономика и др. В основе построения математической теории лежит аксиомати­ ческий метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все осталь­ ные предложения теории получаются как логические следствия ак­ сиом. Примером применения аксиоматического подхода является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представ­ лялась наглядно очевидной.

Основным методом в математических исследованиях являются ма­ тематические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-корр.РАН Л.Д.

Кудрявцев1, логические рассуждения (которые по своей природе, если они пра­ вильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математиче­ ское мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделе­ ния существенных из них и для выбора способа ее решения необхо­ дима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нуж­ ный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь иссле­ дования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедли­ вость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по 1 Кудрявцев Л. Современная математика и ее преподавание. — М.: Наука, 1985.

Себе играет большую роль в математических исследованиях), а чис­ то логическим путем, по законам формальной логики. Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемом курсе высшей математики мы должны использовать только «строгие» до­ казательства, сводя все к аксиомам. Такой задачи авторы не ставили потому, что это не только невозможно в рамках вузовского курса (а тем более краткого курса в экономическом вузе), но часто и нецеле­ сообразно с методической точки зрения, так как в процессе изуче­ ния дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять боль­ шое внимание разъяснению математических понятий (в том числе и на интуитивном уровне), их геометрическому, физическому и эко­ номическому смыслу, решению практических задач.

В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей.

Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать про­ цессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для ма­ тематики важна не природа рассматриваемых объектов, а сущест­ вующие между ними отношения. В математике используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основа­ нии общих знаний для конкретного случая и наоборот — на осно­ вании частных случаев об общих суждениях.

Принцип математиче­ ской индукции гласит, что утверждение А(п), зависящее от натураль­ ного параметра п, считается доказанным, если доказано 4(1) и для любого натурального числа п из предположения, что верно А(п), доказано, что верно также А(п + 1). При формулировке математических утверждений часто исполь­ зуются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое-либоутверждение (положение) В в связи с некоторым утвер­ ждением (условием) А. Если из В следует А, т. В = А, то А называет­ ся необходимым условием для В, если же из А следует В, т.

А = В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 = делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — доста­ точное условие его делимости на 6 (делимость на 12 = делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В = А и А = В, т.е. А В, то А называется необходимым и достаточным условием для В.

Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 делимость на 6». Таким образом, необходимые условия — те, без которых рас­ сматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а дос­ таточные условия — те, при выполнении которых это утверждение. Заведомо верно. Выражение «необходимо и достаточно», можно за­ менить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том случае». Необходимые и дос­ таточные условия обладают в математике большой познавательной ценностью. Математика играет важную роль в естественно-научных,инже­ нерно-техническихи гуманитарных исследованиях.

Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расче­ та, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной мате­ матики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения при­ кладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Поэтому математическое образование следует рас­ сматривать как важнейшую составляющую в системе фундамен­ тальной подготовки современного экономиста. Основы высшей математики были разработаны в трудах выдаю­ щихся ученых: математика и механика Древней Греции Архимеда (287—212гг. До нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650);английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727);немецкого философа, математика и фи­ зика Г. Лейбница (1646—1716);математика, механика и физика Л.

Эйлера (1707—1783);французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813);немецкого математика К. Гаусса (1777— 1855); французского математика О.

Коши (1789—1857)и многих дру­ гих крупнейших ученых. Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся рус­ ские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856),М.В. Ост­ роградский (1801—1861), П.Л. Чебышев (1821—1894), А.А.

Марков (1856-1922), А.М. Rt на русском. Ляпунов (1857-1918)и др. Современная российская математическая школа занимает пере­ довое место в мировой математической науке благодаря трудам зна­ менитых математиков: А.Д. Александрова, П.С.

Александрова, B.И. Арнольда, С.Н.

Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Виноградова, В.М. Глушкова, J1.B. Канторовича, М.В. Кел­ дыша, А.Н.

Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В.

Прохорова, В.И. Смирнова, C.Л. Соболева, А.Н.

Тихонова и многих других.